Дифференцирование под знаком интеграла фейнман

ФЕЙНМАНА ИНТЕГРАЛ - это Что такое ФЕЙНМАНА ИНТЕГРАЛ?

дифференцирование под знаком интеграла фейнман

Вспомнилось ещё, как Фейнман в книге "Вы, конечно, шутите. как его выручало правило дифференцирования под знаком интеграла. Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы. Фейнман, вы человек молодой, проведите-ка на эту тему семинар. .. и пробовал провести дифференцирование под знаком интеграла, и оно нередко.

Он работает над ней самостоятельно. Тут он наклонился ко мне и сказал — негромко, словно сообщая секрет: И он оказался прав. Семинара Уилер так и не провел. Он думал, что квантовая часть теории окажется несложной, что все уже почти решено. Ко времени, на которое был назначен его семинар, он понял, что справиться с ней не может и сказать ему нечего.

Я считал тогда, что настоящий мужчина никакого внимания на поэзию и тому подобные штучки обращать не. Откуда она вообще берется, эта самая поэзия, меня нисколько не интересовало! Мне больше нравились жестянщики, сварщики, работники механических мастерских. Такую я занимал позицию. Первое-то, разумеется, верно, зато второе — глупость полная.

Примерно таких же взглядов я, как вы еще увидите, придерживался и обучаясь в аспирантуре Принстона. И однажды, когда я сидел там, с верхнего этажа спустился и уселся рядом со мной перепачканный краской маляр. Мы разговорились, и он стал рассказывать о том, как много должен знать человек, занимающийся его ремеслом. Я ответил, что не знаю, а он сказал: А выше сгодится как раз белая, она создаст впечатление чистоты ресторана. Похоже, дело свое он действительно знал, и я внимательно его слушал, но тут он вдруг сказал: Вот, к примеру, какие краски вы смешали бы, чтобы получить желтый цвет?

Какие краски надо смешивать, чтобы получить желтый цвет, я не. И я ему поверил, ведь он же был профессиональным маляром, а я перед такими людьми всегда преклонялся. Хотя мне все-таки оставалось непонятным, как это получается. И тут мне пришла в голову мысль: Вы используете какие-нибудь особые пигменты, чтобы произвести химические изменения?

Я кое-что понимаю в красках и знаю, что желтый не получится, но он, должно быть, умеет делать что-то такое, благодаря чему все-таки получается желтый. Надо выяснить, что это! Маляр снова поднялся наверх, чтобы заняться работой, а ко мне подошел владелец ресторана: Он маляр и всю жизнь был маляром, он говорит, что знает, как получить желтый колер. Я просто не знал, что ответить. И думаю, что из красного с белым получить желтый нельзя — только розовый.

Ну и пошел я в магазин, купил краски, принес их в ресторан. Маляр спустился сверху, к нам присоединился и хозяин ресторана. Я поставил банки с красками на старый стул, маляр начал их смешивать.

Наконец он пробормотал что-то вроде: Если добавить желтой краски, выйдет желтый цвет, а без нее — никак. Маляр ушел обратно наверх.

А владелец ресторана возмутился: Маляр рассказал мне столько дельного, что я был готов поверить в существование странного, неизвестного мне явления. Я-то считал, что цвет у него выйдет розовый, но все же думал: Занимаясь физикой, я часто впадал в заблуждения, полагая, что та или иная теория на самом деле не так уж хороша, думая, что с ней связаны сложности, которые ее непременно испортят, считая, что всякое может быть — отлично зная при этом, что именно согласно ей должно произойти.

Другой набор инструментов В аспирантской школе Принстона физическое и математическое отделения делили общую комнату отдыха, в которой мы каждый день в четыре часа пили чай. Так мы не просто имитировали порядки английского колледжа, но и получали послеполуденную разрядку.

Кто-то играл в го, кто-то обсуждал теоремы.

Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!

В те дни главной сенсацией была топология. Как сейчас помню двух ребят — один сидит на кушетке, напряженно о чем-то размышляя, а другой стоит перед ним и говорит: Теперь ты берешь вектор, который направлен вот сюда, и тогда то да се… А сидящий на кушетке силится понять весь этот ужас, который продолжается — и на большой скорости — целых пятнадцать минут!

И вот стоящий заканчивает, а сидящий говорит: Мы, физики, и посмеивались над ними, и старались их понять. И говорили им так: Математикам наша теорема не нравилась, что и позволяло мне их дразнить. Однако топология математикам очевидной отнюдь не казалась. И мне пришла в голову идея. Я бросил им вызов: Выглядело это зачастую. Ты разрезаешь его на конечное число кусочков, потом снова складываешь их вместе, и апельсин получается размером с солнце. Быть такого не. Вот он и попался!

Это теорема такого-то о неизмеряемой мере! Все страшно радовались — и вправду, попался, но тут я напоминал им: А апельсин невозможно разрезать на кусочки, которые мельче атомов. Ну я и предполагал, что речь идет о реальном апельсине. В итоге я всегда побеждал. Если я угадывал верно — очень хорошо. Если неверно, мне неизменно удавалось найти в их упрощениях нечто, о чем они забыли упомянуть.

Дифференцирование под знаком интеграла

На самом-то деле мои догадки были не лишены определенных достоинств. У меня имелась схема, которую я и сейчас применяю, когда человек объясняет мне что-то, что я пытаюсь понять: Ну, скажем, математики придумывают роскошную теорему и приходят в полный восторг. Пока они перечисляют мне условия, я сооружаю в уме нечто, всем этим условиям отвечающее. Наконец, формулируется сама теорема, какая-нибудь чушь о мячике, к моему волосатому зеленому мячику нисколько не относящаяся, и я заявляю: А потом привожу мой контрпример.

К этому времени я уже понимаю, к чему все клонится, хоть и понятия не имею о том, что такое гомоморфность Хаусдорфа. Как правило, я угадывал верно, потому что, хоть математики и считали свои топологические теоремы противоречащими интуиции, теоремы эти были вовсе не такими сложными, какими казались.

Со всеми их смешными фокусами насчет сверхтонкого разрезания вполне можно было освоиться, а после догадаться, куда идет дело, уже не составляло труда.

Хоть я и доставлял математикам немало хлопот, они всегда относились ко мне по-доброму. Счастливые они были ребята — выдумывали всякие штуки и страшно им радовались. Я и Пол Олам пользовались одной ванной комнатой на двоих.

дифференцирование под знаком интеграла фейнман

Мы подружились — и он попытался обучить меня математике. Пол довел меня аж до гомотопных групп, но на них я сломался. Однако вещи попроще понимал довольно хорошо.

Фейнмановские интегралы могут быть записаны в параметрическом представлении как обычные интегралы по единичному кубу. Поэтому область интегрирования специальным образом разбивается на так называемые секторы, после чего делаются замены переменных, возвращающие область интегрирования к единичному кубу. В случае правильного подбора секторов в новых переменных можно явно выделить особенности. Этот подход использовался уже в шестидесятых годах для доказательства теорем о перенормировке.

Тогда были изобретены секторы Хеппа [] и Спира []. Алгоритмический подход к секторному разложению для вычисления фейнмановских интегралов был применен впервые в году Бинотом и Хайн-рих [,]. Заложенная в алгоритме стратегия секторного разложения не гарантировала сходимости алгоритма и требовала ручной подстройки.

Долгое время существовала только закрытая версия программы. Ее современный вариант был опубликован лишь в году [79]. В году Богнер и Вайнцирль [71, 70] предложили свои стратегии разложения по секторам. Эти стратегии гарантированно сходятся для случая, когда все кинематические инварианты имеют один знак. Программа Богне-ра и Вайнцирля была сделана публичной.

Однако практика показала, что программа была неприменимой для достаточно сложных классов интегралов Фейнмана. Основным недостатком подхода с применением секторного разложения является то, что он нацелен на получение численных ответов, причем точность получаемых значений не превышает шести знаков после запятой. Часто такой точности недостаточно, и секторное разложение применяется лишь для проверки ответов, полученных другим способом что, конечно, не снижает его ценности ввиду полной автоматизации подхода.

Другим и, наверное, одним из наиболее мощных современных методов аналитического вычисления фейнмановских интегралов является подход, основанный на формуле Меллина-Барнса. После проведения некоторых преобразований фейнмановский интеграл представляется в виде многомерного интеграла вдоль комплексных осей от выражения, зависящего от Г-функций. Этот интеграл может вычисляться аналитически или же численно с достаточно высокой точностью, но для начала необходимо выбрать правильный прямолинейный контур и взять необходимые вычеты.

Нахождение такого контура является нетривиальной задачей, к решению которой имеется два независимых подхода, две стратегии выделения особенностей, сформулированные в [, ]. Мы их будем называть стратегиями А и В. Стратегия А описана и проиллюстрирована множеством примеров в главе 4 в книгах [, ].

Стратегия В давно была реализована в виде алгоритма [, ], публичный код был представлен в []. Хотя стратегия А потенциально выглядела более перспективной, реализовать ее в виде алгоритма так и не удавалось — стратегия представляла собой набор нечетких инструкций, применение которых было своеобразным искусством.

Помимо редукции и вычисления фейнмановских интегралов важным направлением также является их асимптотическое разложение. Оно часто используется в ситуациях, когда, заданный интеграл зависит от нескольких параметров, которые можно явно подразделить на "малые" и "большие". Полная задача может быть слишком сложной для явного вычисления, и тогда интеграл можно приближенно выразить некоторым количеством первых членов соответствующего асимптотического разложения.

Строго говоря, задачу асимптотического разложения фейнмановских интегралов можно поставить следующим образом. Предположим, что интеграл зависит от некоторого параметра t, и нам нужно проследить поведение интеграла при t. Основная проблема асимптотического разложения заключается в том, что как и в случае вычисления интегралов, мы не можем менять порядок интегрирования и разложения, поэтому требуются другие методы для асимптотического разложения.

Существуют разные подходы к решению задачи асимптотического разложения. Один из них — это применение универсальной стратегии разложения по областям [, ]. Однако до последнего времени выделение правильных областей оставалось строго не формализованным. I Другой подход, предложенный недавно [86], — скомбинировать метод МВ-представлений [,, 62] с современными стратегиями разложения по секторам. Реализация такого подхода в сложных случаях также оказалась невозможной без разработки соответствующих компьютерных программ.

Научной необходимостью явилась разработка алгоритмов и их реализация в виде компьютерных программвыполняющих задачи редукции, вычисления и асимптотического разложения фейнмановских интегралов.

Кроме того, давно назрела проблема формализации и обоснования некоторых понятий, относящихся к интегралам Фейнмана.

Отсюда вытекает цель диссертационной работы: Диссертация представляет собой исследование, относящееся к области вычислительной математики. При разработке алгоритмов была учтена специфика развития современных компьютеров — возрастающая распространенность многоядерных компьютеров, а также доступность больших объемов дисковых пространств при практически не возрастающей тактовой частоте процессоров. В диссертации представлены существенные наработки во всех трех описанных выше областях — редукции, вычислении и асимптотическом разложении фейнмановских интегралов.

Для всех этих задач разработаны и реализованы в виде компьютерного кода различные алгоритмы, составляющие уникальный программный комплекс. Кроме того, результаты диссертации подтверждаются физическими вычислениями, полученными как диссертантом совместно с соавторами, так независимыми исследователями, использовавшими разработанные автором программы. Основные результаты и структура диссертации. В году автором было дано строгое определение понятия мастер-интегралов [], что позволило формализовать задачу редукции.

Более того, в году автором совместно с А. Петуховым было получено доказательство того факта, что количество мастер-интегралов всегда конечно [18]. В году был разработан алгоритм построения s-базисов — модифицированных базисов Грёбнера, применяющихся к задаче редукции фейнмановских интегралов.

На основе разработанных автором алгоритмов а также существовавших ранее в году была создана и опубликована программа FIRE [87], осуществляющая автоматическую редукцию интегралов Фейнмана.

Формула Лейбница — Википедия

Изначально она основывалась на применении модифицированных базисов Грёбнера, однако позже в нее были включены как реализация алгоритма Лапорты, так и другие методы. На данный момент имеется около пятидесяти ссылок на статью с описанием FIRE. Также в разработке существует более мощная версия FIRE, применяемая в данный момент совместно с соавторами.

Для полноты картины стоит отметить, что, кроме FIRE и упомянутого выше AIR, имеется еще одна общедоступная программа редукции Reduze [43], опубликованная в году В году автором был разработан алгоритм секторного разложения, основанный на геометрическом представлении подынтегрального выражения.

Было доказано, что этот алгоритм стратегия S сходится.

Формула Лейбница

В году на основе этого алгоритма была совместно с М. Тентюко-вым создана и сделана публичной программа FIESTA [63] для автоматического численного вычисления фейнмановских интегралов методом разложения по секторам. Эта программа сейчас успешно применяется во множестве работ, как с участием автора, так и сторонних исследователей. Программу FIESTA можно назвать на сегодняшний день самым мощным инструментом автоматического численного вычисления интегралов Фейнмана.

Программа имеет удобный интерфейс, но в то же время очень адаптивна и применима для задач большой сложности, способна работать в параллельном режиме и обрабатывать большие массивы данных. Первая версия программы FIESTA, в том числе, включала в себя оригинальную стратегию разложения по секторам, превосходившую на тот момент все общеизвестные стратегии.

Однако стоит отметить, что позже была изобретена еще одна геометрическая стратегия разложения по секторам [32], способная приводить к меньшему количеству секторов, но требующая большого времени. Как было сказано выше, уже в шестидесятых годах были изобретены так называемые секторы Спира, применимые в случае интегралов с евклидовыми внешними импульсами. В году секторы Спира были переведены автором на язык современных стратегий разложения по секторам; доказано, что в случае евклидовых импульсов стратегия S приводит к тому же набору.

Если секторное разложение решает, в основном, задачу численного вычисления, то описанный выше подход МВ-интегралов способен приводить и к аналитическим ответам. Стратегия А выделения особенностей уже давно была отмечена как более перспективная, но переработать и представить ее в виде алгоритма удалось лишь в году. Результат был получен автором совместно с В.

Смирновым и представлен в виде программы MBresolve [62]. В диссертации имеются также и результаты, относящиеся к асимптотическому разложению. Во-первых, был реализован описанный выше подход [86], основанный на комбинировании метода МВ-представлений с современными стратегиями разложения по секторам. Во-вторых, была формализована стратегия разложения по областям.

Результат был представлен и опубликован [16] совместно с А. Паком в виде компьютерной программы. Итак, автором было разработано множество алгоритмов, нацеленных на вычисление фейнмановских интегралов. Они включают в себя следующие: Разработка программ и методов не была бы возможна без применения различных математических теорий включая активно развивающиеся современные методы. Одним из достижений является уже упомянутое выше доказательство теоремы конечности теорема 1 для мастер-интегралов.

Также имеется некоторое количество теорем, обосновывающих методы вычисления фейнмановских интегралов: Что касается практической работоспособности, она подтверждается множеством примеров.

Диссертация состоит из пяти глав. Первая глава посвящена методам редукции фейнмановских интегралов. Сначала приводится более детальное описание задачи редукции, что требует введения таких понятий, как секторы и упорядочение фейнмановских интегралов. Дается строгое определение понятия мастер-интегралов, формулируется теорема теорема 1 о конечности числа мастер-интегралов. Эта теорема сводится к утверждению из области алгебраической геометрии теорема 2.

Чтобы описать наработки автора, дается краткое введение в базисы Грёб-нера и описывается механизм, позволяющий применять их к редукции интегралов Фейнмана. Затем описывается модификация этих алгоритмов, предложенная автором в [, ]. Далее представлена программа FIRE, описаны алгоритмы, стоящие за этой программой.

Приводится общая схема работы FIRE, варианты ее использования с построением базисов и безописан принцип параллелизации работы алгоритма. Статьи, относящиеся к первой главе: Вторая глава описывает методы вычисления фейнмановских интегралов.

Интегралы№1 Понятие Дифференциала Функции

Глава начинается с описания секторного разложения как метода вычисления фейнмановских интегралов. Затем дается определение стратегий секторного разложения, представлена стратегия S, изобретенная автором и превосходящая существовавшие до этого стратегии, доказывается теорема теорема 4что стратегия S сходится.

Кроме того, на современный язык переводятся классические стратегии секторов Хеппа и Спира, показывается теорема 5что в случае евклидовых внешних импульсов стратегии Спира и S приводят к одинаковым результатам этот результат был получен в [61]. Даются различные советы по использованию, производится оценка роста производительности программы в зависимости от числа процессоров.

Описываются алгоритмы, работающие как после разложения по секторам выделение особенностейтак и до предразрешение. Затем в главе разбирается другой подход к вычислению фейнмановских интегралов, основанный на МВ-представлении. Пересматривается классический подход Стратегия Аописывается его реализация в виде алгоритма MBresolve.

Статьи, относящиеся ко второй главе: Сначала описан метод областей в том эмпирическом состоянии, в котором он существовал ранее. Затем дается строгое определение понятия области, как было предложено совместно с А. Далее описан алгоритм, реализующий геометрический подход к методу областей. Алгоритм представлен в виде программы asy, позволяющей выделять области в автоматическом режиме.

Затем мы переходим к другому методу, комбинирующему МВ-предста-вления с секторным разложением. Описан алгоритм, позволяющий в некоторых случаях получать численное асимптотическое разложение автоматически.

Статьи, относящиеся к третьей главе: В четвертой главе представлен программный комплекс, основанный на описанных выше алгоритмах, даются инструкции по его применению. Для всех компьютерных программ, входящих в состав комплекса, приводятся рекомендации по подбору опций для повышения эффективности вычисления фейнмановских интегралов. Статьи, относящиеся к четвертой главе: Самые важные из результатов. Они включают в себя декаплинг с-кварковых петель в процессах с участием Ь-кварка, трехпетлевой статический кварковый потенциал, кварковые и глю-онные трехпетлевые формфакторы, и низкоэнергетические моменты корреляторов тяжелых кварков в четырехпетлевом приближении.

Статьи, относящиеся к пятой главе: Разработан алгоритм для построения s-базисов [,]. Разработан алгоритм для разрешения соотношений интегрирования по частям, при котором интегралы изучаются по убыванию относительно выбранного упорядочения [87]; доказано, что этот алгоритм сходится теорема 3.

На их основе создана программа FIRE, выполняющая редукцию фейнмановских интегралов к мастер-интегралам [87]. Использование программы FIRE позволило редуцировать недоступные ранее многопетлевые интегралы высокой сложности. Разработан алгоритм секторного разложения, основанный на геометрическом представлении подынтегрального выражения стратегия S. Доказано теорема 4что стратегия S сходится [63].

дифференцирование под знаком интеграла фейнман

Доказано теорема 5что в случае евклидовых импульсов стратегия S и секторы Спира приводят к одинаковому набору секторов [19]. Разработан алгоритм для асимптотического разложения фейнмановских интегралов методом, объединяющим представление Меллина-Барнса и секторное разложение [19]. Разработана модификация алгоритма численного интегрирования Vegas с использованием библиотек высокой точности [19].

На основе этих алгоритмов создана программа FIESTA для численного вычисления фейнмановских интегралов методом разложения по секторам и для асимптотического разложения фейнмановских интегралов по малому параметру [61, 19, 63, 44]. Программа представляет собой уникальный общедоступный инструмент, используемый многими исследователями в своих работах и позволяющий в автоматическом режиме получать до шести знаков численного значения фейнмановских интегралов.

  • ФЕЙНМАНА ИНТЕГРАЛ
  • Дифференцирование под знаком интеграла
  • Научный форум dxdy

Разработан альтернативный алгоритм для выделения особенностей при вычислении интегралов методом Меллина-Барнса [62]. На его основе создана программа MBresolve для вычисления фейнмановских интегралов. Она позволяет выделять особенности в задачах, для которых не работали ранее существовавшие инструменты, и приводить к меньшему количеству выражений для интегрирования.